$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Peluang Bersyarat (Conditional Probability)}}$ 

Peluang bersyarat didefinisikan sebagai 

$$
P(A\mid B) \;=\; \frac{P(A\cap B)}{P(B)},
\quad P(B)>0.
$$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Soal 1}}$ 

Soal: Suatu kartu diambil dari setumpuk 52 kartu. Hitung $P(\text{As}\mid \text{Merah})$. 

Solusi: Ada 26 kartu merah dan 2 As merah. 

$$
P(\text{As}\mid \text{Merah})
= \frac{P(\text{As}\cap \text{Merah})}{P(\text{Merah})}
= \frac{\tfrac{2}{52}}{\tfrac{26}{52}}
= \frac{2}{26}
= \tfrac{1}{13}.
$$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Soal 2}}$ 

Soal: Dua dadu fair dilempar bersamaan. Hitung $P(\text{jumlah}=8 \mid \text{dadu pertama}=3)$. 

Solusi: Himpunan hasil ketika dadu pertama = 3 adalah $\{(3,1),(3,2),\dots,(3,6)\}$, total 6 kemungkinan. Hanya satu yang jumlahnya 8, yaitu $(3,5)$. 

$$
P(\text{jumlah}=8 \mid \text{dadu pertama}=3)
= \frac{1}{6}.
$$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Soal 3}}$ 

Soal: Dalam sebuah urn berisi 5 bola merah dan 7 bola biru, diambil dua bola tanpa pengembalian. Hitung $P(\text{bola ke-2 merah} \mid \text{bola ke-1 biru})$. 

Solusi: Jika bola pertama biru, tersisa 5 merah dan 6 biru (total 11). 

$$
P(\text{ke-2 merah}\mid \text{ke-1 biru})
= \frac{5}{11}.
$$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Soal 4}}$ 

Soal: Sebuah tes medis memiliki sensitivitas 95\% dan spesifisitas 90%. Prevalensi penyakit di populasi adalah 2%. Hitung $P(\text{penyakit}\mid \text{tes positif})$. 

Solusi:  

Gunakan Teorema Bayes:  

$$
P(D\mid +)
= \frac{P(+\mid D)\,P(D)}{P(+\mid D)\,P(D) + P(+\mid \neg D)\,P(\neg D)}.
$$  

Masukkan nilai:  

$P(+\mid D)=0.95,\;P(D)=0.02,\;P(+\mid \neg D)=0.10,\;P(\neg D)=0.98$.  

$$
P(D\mid +)
= \frac{0.95\times0.02}{0.95\times0.02 + 0.10\times0.98}
= \frac{0.019}{0.019 + 0.098}
= \frac{0.019}{0.117}
\approx 0.162.
$$  

Jadi peluang sebenarnya pasien sakit setelah hasil positif hanyalah sekitar 16.2%.