$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Latihan Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat}}$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Latihan Dasar}}$ 

Soal 1: Tentukan akar persamaan  

$$
x^2 - 3x - 4 = 0.
$$ 

Pembahasan 1 

Faktorkan: 

$$
x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) = 0
$$ 

Maka 

$$
x = 4,\;x = -1.
$$ 


Soal 2: Tentukan akar persamaan  

$$
2x^2 + x - 3 = 0.
$$ 

Pembahasan 2: 

Gunakan Rumus ABC: 

$$
D = 1^2 - 4\cdot2\cdot(-3) = 1 + 24 = 25
$$ 

$$
x = \frac{-1 \pm 5}{4}
\;\Longrightarrow\;
x = 1,\;x = -\tfrac{3}{2}.
$$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Latihan Menengah}}$ 

Soal 3: Cari nilai $k$ sehingga 

$$
x^2 - 2(k+1)x + k = 0
$$ 

memiliki akar kembar. 

Pembahasan 3:  

Syarat $D=0$: 

$$
D = [ -2(k+1) ]^2 - 4\cdot1\cdot k
= 4(k+1)^2 - 4k = 0
$$ 

$$
(k+1)^2 - k = 0
\;\Longrightarrow\;
k^2 + 2k + 1 - k = 0
\;\Longrightarrow\;
k^2 + k + 1 = 0
$$ 

Tidak ada solusi real karena diskriminan negatif. 


Soal 4: Jika akar-akar persamaan monik 

$$
x^2 + bx + 6 = 0
$$ 

berjumlah 5, tentukan $b$. 

Pembahasan 4: 

Sum of roots $x_1+x_2 = -b = 5$,  maka 

$$
b = -5.
$$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Latihan Soal Sulit}}$ 

Soal 5: Tentukan rentang $k$ sehingga 

$$
x^2 - 2kx + k + 3 = 0
$$ 

memiliki dua akar real positif. 

Pembahasan 5: 

Syarat real: 

$$
D = 4k^2 - 4(k+3) \ge 0
\;\Longrightarrow\;
k^2 - (k+3) \ge 0
\;\Longrightarrow\;
k^2 - k - 3 \ge 0.
$$ 

Syarat $x_{1,2}>0$: 

$$x_1 + x_2 = 2k > 0,
\quad
x_1 x_2 = k+3 > 0.
$$ 

Akhirnya rentangnya $k \in (-\infty, \alpha]\cup[\beta,\infty)$ dengan $\alpha,\beta$ akar $k^2 - k - 3=0$; dan $k>-3,\,k>0$. 


Soal 6: Untuk $ (k-1)x^2 + (k+2)x + 3 = 0 $, diketahui salah satu akar $x=1$. Cari $k$ dan akar kedua. 

Pembahasan 6: 

Substitusi $x=1$: 

$$
(k-1) + (k+2) + 3 = 0
\;\Longrightarrow\;
2k + 4 = 0
\;\Longrightarrow\;
k = -2.
$$ 

Masukkan $k=-2$: 

$$
(-3)x^2 + 0\cdot x + 3 = 0
\;\Longrightarrow\;
x^2 = 1
\;\Longrightarrow\;
x = \pm1.
$$ 

Akar lain: $x=-1$.


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Latihan Soal Menantang}}$ 

Soal 7: Cari $k$ sehingga kedua akar 

$$
x^2 - (k+2)x + k = 0
$$ 

terletak di interval $(0,1)$. 

Pembahasan 7:
 
Syarat: 

$$
x_1 + x_2 = k+2 \in (0,2),
\quad
x_1 x_2 = k \in (0,1),
\quad
D \ge 0.
$$ 

Solusi diperoleh melalui sistem ketidaksamaan ini. 


Soal 8: Persamaan 

$$
x^2 - 4x + m = 0
$$ 

memiliki akar $x_1,x_2$ yang memenuhi 

$$
x_1^2 + x_2^2 = 10.
$$ 

Tentukan $m$. 

Pembahasan 8:  

Gunakan  

$$
x_1^2 + x_2^2
= (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2
= 4^2 - 2m = 16 - 2m = 10
$$  

$$
16 - 2m = 10
\;\Longrightarrow\;
m = 3.
$$  

 

Topik terkait: