$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Distribusi Binomial}}$ 

Distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas diskrit yang memodelkan jumlah keberhasilan dalam $n$ percobaan Bernoulli independen, dengan probabilitas keberhasilan $p$ pada setiap percobaan. 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Rumus dan Parameter}}$ 

Percobaan Bernoulli: sukses (dengan probabilitas $p$) atau gagal (dengan probabilitas $1-p$). 

Parameter: 
- $n$: jumlah percobaan 
- $p$: probabilitas sukses pada tiap percobaan 

Fungsi probabilitas (pmf): 

$$
P(X = k)
= \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k},
\quad k = 0,1,\dots,n.
$$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Soal 1 (Mudah)}}$ 

Soal: Dalam 5 kali lemparan koin fair, tentukan probabilitas tepat 2 sisi gambar. 

Solusi:  

$n=5$, $p=0.5$, $k=2$ 

$$
P(X=2)
= \binom{5}{2}(0.5)^2(0.5)^{3}
= 10 \times 0.25 \times 0.125
= 0.3125.
$$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Soal 2 (Sedang)}}$ 

Soal: Dari 10 pertanyaan pilihan ganda (4 opsi, 1 jawaban benar), seseorang memilih secara acak. Berapakah probabilitas mendapatkan tepat 3 jawaban benar ($p=0.25$)? 

Solusi:  

$n=10$, $p=0.25$, $k=3$ 

$$
P(X=3)
= \binom{10}{3}(0.25)^3(0.75)^7
= 120 \times 0.015625 \times 0.1334839
\approx 0.251.
$$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Soal 3 (Sulit)}}$ 

Soal: Sebuah lampu memiliki tingkat kegagalan 2% di setiap uji coba.  Jika diuji pada 200 lampu, berapa probabilitas paling banyak 5 lampu gagal? 

Solusi: 

$n=200$, $p=0.02$ 

$$
P(X \le 5)
= \sum_{k=0}^{5} \binom{200}{k}\,(0.02)^k\,(0.98)^{200-k}.
$$ 

(Perhitungan numerik dapat menggunakan tabel binomial atau perangkat lunak statistik.)


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Soal 4 (Menantang)}}$ 

Soal: Dalam kampanye pemasaran, konversi iklan adalah 1%.  Jika 1000 iklan ditayangkan, tentukan probabilitas tidak lebih dari 2 konversi. 

Solusi: 

$n=1000$, $p=0.01$  

$$
P(X \le 2)
= \sum_{k=0}^{2} \binom{1000}{k}\,(0.01)^k\,(0.99)^{1000-k}.
$$  

Pendekatan Poisson dengan $\lambda = np = 10$ memberikan aproksimasi:

$$
P(X \le 2)
\approx \sum_{k=0}^{2} \frac{10^k e^{-10}}{k!}.
$$